Fibonacci: successione aurea e matematica

Fibonacci: successione aurea e matematica moderna

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Matematico Leonardo Pisano detto Fibonacci ha introdotto la successione aurea ed ha diffuso in Europa la matematica moderna

 

Pisa, a settembre del 1170 circa nacque uno del pilastri della matematica moderna e creatore della successione aurea, Leonardo Pisano detto Fibonacci ovvero figlio di Bonacci.

Introdusse la matematica moderna dapprima in Italia, sostituendo i numeri romani con quelli indiani, poi in Europa; infatti, nel 1200 Leonardo Fibonacci pubblicò “Liber abbaci” contenente una tabella di raccordo tra i numeri romani, in uso, ed i nuovi numeri indiani. Dunque, introdusse anche il numero “zero“, poiché usato in India, unico Paese ad avere lo “zero“, grazie al matematico Brahmagupta. Leonardo Fibonacci soprannominò il nuovo numero “zefirus” (la lingua latina ha riadattato quella araba “sifr”, che a sua volta la riprese dalla sanscrita “śūnya” che significa “vuoto”); “zefirus”, poi, diventò “zevero” ed infine “zero“.

Leonardo Fibonacci e Liber abbaci

fibonacci tabella addizione moltiplicazione

Grazie al matematico Leonardo Fibonacci in Europa ci fu l’unione fra i procedimenti della geometria greca euclidea e gli strumenti matematici della scienza araba; inoltre, dettò le regole per la divisione per zero, le regole di calcolo di radicali quadratici e cubici. Dunque, Liber abbaci è uno dei cardini della matematica, il testo è diviso in 15 capitoli:

  1. La conoscenza delle nove figure indiane,
  2. La moltiplicazione degli interi.
  3. L’addizione degli stessi.
  4. La sottrazione dei numeri minori dai maggiori.
  5. La divisione dei numeri interi per numeri interi.
  6. Moltiplicazione degli interi con le frazioni, e delle frazioni senza interi.
  7. La somma, la sottrazione e la divisione degli interi con le frazioni e la riduzione delle parti di numeri in parti singole.
  8. L’acquisto e la vendita delle merci e simili.
  9. I baratti delle merci, l’acquisto di monete e simili.
  10. Le società fatte tra consoci.
  11. La fusione delle monete e regole correlative.
  12. La soluzione di questioni diverse, dette miscellanee.
  13. Regola della doppia falsa posizione, e come con essa si risolvano pressoché tutte le questioni miscellanee.
  14. Il calcolo delle radici quadrate e cubiche per moltiplicazione e divisione o da estrazione e il trattato dei binomi recisi e delle loro radici.
  15. Le regole delle proporzioni geometriche; e le questioni di algebra e almucabala.

Fibonacci definì il termine noto (numerus), la radice quadrata (radix) ed anche il quadrato (census) per studiare le equazioni di primo e di secondo grado; dunque introdusse le seguenti sei equazioni:

  • a * x² = b * x;
  • a * x² = c;
  • b * x = c;
  • a * x² + b * x = c;
  • b * x + c = a * x²;
  • a * x² + c = b * x.

Successione aurea di Fibonacci

La regola matematica per descrivere la crescita di una popolazione di conigli:

“Determinare quanti conigli si avranno alla fine dell’anno partendo da una coppia che sarà fertile a partire dal secondo mese”.

Le condizioni che definiscono il problema:

  • si disponga di una coppia di conigli appena nati;
  • questa prima coppia diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese;
  • le nuove coppie nate si comportino in modo analogo;
  • le coppie fertili dal secondo mese di vita in poi diano alla luce una coppia di figli al mese;

L’andamento del risultato:

  • dopo il primo mese 1 coppia di conigli sarà fertile;
  • dopo il secondo mese ci saranno 2 coppie di cui 1 fertile;
  • mentre alla fine del terzo mese ci saranno 3 coppie di cui 2 fertili;
  • quindi al termine del quarto mese ci saranno 5 coppie di cui 3 fertili.

La successione di Fibonacci rappresenta una sequenza di numeri interi (Fn) in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti, eccetto i primi due; dunque, gli elementi Fn sono anche detti numeri di Fibonacci. I primi termini della successione di Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …. ecc.

La formula matematica della successione aurea di Leonardo Fibonacci

La formula matematica che esprime come risultati la successione di Fibonacci è:

Fn = (1,6180339887^n – (- 1,6180339887)^-n)/√5

Alcuni calcoli esaustivi:

F1 = (1,6180339887 – (-0,6180339913))/2,23606798 = 1

anche F2 = (2,61803407 – (+0,38196609))/2,23606798 = 1

inoltre F3 = (4,23606798 – (-0,23606798))/2,23606798 = 2

Fibonacci spiraleDopo la scoperta del matematico pisano si è riscontrata una certa coincidenza con elementi della natura; infatti, in botanica si è notato come spesso i petali che si trovino all’interno dei numeri della successione di Fibonacci. Inoltre, disegnando un rettangolo con i lati in rapporto aureo fra di loro, lo si può dividere in un quadrato e un altro rettangolo; il rettangolo minore può essere diviso in un quadrato e un rettangolo che ha pure i lati in rapporto aureo, e così via. Facendo passare per i vertici una linea curva ne verrà fuori una spirale che spesso  si trova nelle conchiglie e nella disposizione dei semi del girasole.

 

Leonardo Fibonacci morì a Pisa verso il 1235, lasciandoci le basi della matematica moderna.

 

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Autore dell'articolo: Paolo Di Sante

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